有限、固定、指定时间控制的Lyapunov函数推导
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给定某控制系统的初始时间为 $t_0$ ，初始状态为 $v_0$ ，要求 $t$ 时刻的状态 $v$ 。
设Lyapunov函数为
\[\dot{V} = -k v^\alpha, \quad 0 < \alpha < 1, \quad k > 0.\]改写为
\[\frac{\text{d}v}{\text{d}t} = -k v^\alpha,\]把 $-k v^\alpha$ 移到左边，为
\[-\frac{1}{k v^\alpha} \text{d}v = \text{d}t,\]两边求积分，为
\[-\frac{1}{k} \int_{v_0}^{v} \frac{1}{v^\alpha} \text{d}v = \int_{t_0}^{t} 1 \text{d}t,\]继续算，为
\[-\frac{1}{k} \frac{1}{1-\alpha} v^{1-\alpha} \bigg |_{v_0}^v = t \bigg |_{t_0}^t\]在这里作简化处理，认为 $t_0 = 0$，$v = 0$ ，有
\[t = \frac{1}{k} \frac{1}{1-\alpha} v_0^{1-\alpha}.\]这里的收敛时间 $t$ 只与 $k,\alpha,v_0$ 有关。
2
给定某控制系统的初始时间为 $t_0$ ，初始状态为 $v_0$ ，要求 $t$ 时刻的状态 $v$ 。
设Lyapunov函数为
\[\dot{V} = - k_1 v^\alpha - k_2 v^\beta, \quad 0 < \alpha < 1, \quad \beta > 1, \quad k_1,k_2 > 0.\]改写为
\[\frac{\text{d}v}{\text{d}t} = - k_1 v^\alpha - k_2 v^\beta,\]把 $k_1 v^\alpha-k_2 v^\beta$ 移到左边，为
\[\frac{1}{k_1 v^\alpha + k_2 v^\beta} \text{d}v = \text{d}t,\]两边求积分，为
\[\int_{v_0}^{v} \frac{1}{k_1 v^\alpha + k_2 v^\beta} \text{d}v = \int_{t_0}^{t} 1 \text{d}t,\]最后会得到
\[t = \frac{1}{k_1 (1-\alpha)} + \frac{1}{k_2 (\beta-1)}\]3
给定某控制系统的初始时间为 $t_0$ ，初始状态为 $v_0$ ，要求 $t$ 时刻的状态 $v$ 。
设Lyapunov函数为
\[\dot{v} = - k_1 v^{1-\frac{\alpha}{2}} - k_2 v^{1+\frac{\alpha}{2}}, \quad 0 < \alpha < 1, \quad k_1,k_2 > 0.\]最后会得到
\[t = \frac{1}{k_1 (1-\alpha)} + \frac{1}{k_2 (\beta-1)}\]prompt
问题1：为什么有$\dot V \le -(\alpha V^p + \beta V^q)^k$，其中$\alpha,\beta,p,q,k>0:pk<1,qk>1$，就有$\dot V \le -\alpha^k V^{pk}$？
问题2：“因此，$\alpha V^{pk}(x(t))+\beta V^{qk}(x(t))$会比$\alpha V(x(t))+\beta V(x(t))$小”，怎么推导出来的？