双方叫价拍卖:一种贝叶斯博弈均衡的解法
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一、数学模型:双方叫价拍卖模型
考虑一类双方叫价拍卖(double auction),潜在的卖方和买方同时开价,卖方提出要价(asking price),买方提出出价(bidding price),拍卖商选择成交价格清算市场。交易规则为
- 所有要价低于的卖方卖出,所有出价高于的买方买入;
- 在价格下的总供给等于总需求。
查特金和萨缪尔逊(Chatterjee and Samuelson,1983)建立了一个简单双方叫价拍卖模型。
该模型中,有一个卖方和一个买方。卖方提供该商品的成本为,或者说,该商品对卖方的价值为;该商品对买方的价值为。
注:,。
该模型的具体流程为
同时地,卖方提出要价,买方提出出价;
若,双方在上成交;卖方的博弈收益为,买方的博弈收益为;
若,没有交易发生;卖方和买方的效用均为。
二、问题描述:贝叶斯博弈模型
现在考虑不完全信息的情况,即
- 只有卖方知道(卖方提供该商品的成本);
- 只有买方知道(该商品对买方的价值);
- 和在均匀分布,概率分布函数为公共知识。
在该贝叶斯博弈中,卖方的策略(即要价)是的函数,为;买方的策略(即出价)是的函数,为。策略组合是一个贝叶斯均衡(Bayesian Nash Equilibrium,BNE),假定下列两个条件成立:
-
卖方最优:对于所有的,是下列最优化问题的解,为
式中,为给定买方的出价高于卖方的要价的条件下,卖方预期买方的出价。
-
买方最优:对于所有的,是下列最优化问题的解,为
式中,为给定买方的出价高于卖方的要价的条件下,买方预期卖方的要价。
问题1:为什么会有上述两个目标函数的形式?
回答:见前文提到的模型流程,在的条件下,双方在上成交。卖方的博弈收益为,是卖方可以确定的变量,那么要满足的条件,所以要计算在内的期望博弈收益,写为。
买方的博弈收益为,是买方可以确定的变量,那么要满足的条件所以要计算在内的期望博弈收益,写为。
三、理论方法:贝叶斯均衡的解法
该贝叶斯博弈有多种BNE,首先考虑一类线性策略均衡,表达式为
3.1 求解卖方的目标函数
先求解卖方的目标函数,为此,要先求解下面两个式子,分别是
和
3.1.1 求解
可以将买方出价大于等于卖方要价的概率表示为
随后,解不等式,为
由于在上均匀分布,因此大于等于的概率为
化简得到下式,为
3.1.2 求解
根据条件期望的定义(见附录),而且根据条件概率,得到积分上限为,积分下限为,因为在上均匀分布,得到
其中,是的概率密度函数。由于在上均匀分布,因此。代入上式,为
计算积分,为
代入上式,为
化简为
进一步得到
3.1.3 求解卖方的目标函数
将得到的和代入卖方的目标函数,有
对求偏导,获得一阶最优化条件,为
令
前者不会为,只能让后者为,有
化简得到
3.2 求解买方的目标函数
再求解买方的目标函数,同样地,要先求解下面两个式子,分别是
和
3.2.1 求解
可以将买方出价大于等于卖方要价的概率表示为
随后,解不等式,为
由于在上均匀分布,因此小于等等于的概率为
化简得到下式,为
3.2.2 求解
根据条件期望的定义(见附录),而且根据条件概率,得到积分上限为,积分下限为,因为在上均匀分布,得到
其中,是的概率密度函数。由于在上均匀分布,因此。代入上式,为
计算积分,为
代入上式,为
化简为
进一步得到
3.2.3 求解买方的目标函数
将得到的和代入卖方的目标函数,有
对求偏导,获得一阶最优化条件,为
令
前者不会为,只能让后者为,有
化简得到
3.3 求解BNE
重写一遍卖家和买家的一阶最优化条件,为
再列出和,方便对比,为
通过目测法,可以观察得到
把和代入卖家和买家的一阶最优化条件,得到
联立求解,得到
那么,卖方和买方的BNE为
四、结果分析
4.1 卖方的策略
对于卖方而言,令要价小于成本,有
意为当时,卖方的要价低于成本,这对卖方来说不划算。
买方的最高报价为,等于卖方的要价均衡点。也就是说,卖方在给出要价,成本会比要价高,卖方不会这样行动,故买卖双方的最高要价/出价不会高于。
所以,卖方要价低于成本的情况不会出现。
4.2 买方的策略
对于买方而言,令出价高于成本,有
意为当时,买方的出价高于成本,这对买方来说不划算。
卖方的最低报价为,等于买方的出价均衡点。也就是说,买方在给出出价,成本会比出价低,买方不会这样行动,故买卖双方的最低要价/出价不会低于。
所以,买方出价高于成本的情况不会出现。
4.3 BNE
在均衡情况下,当且仅当买方的出价大于等于卖方的要价时,即
写得更加清晰一些,为
满足上述条件,买卖双方才会发生交易。
那么,可以画出买卖双方的均衡线性策略图,如下图所示。
画出交易可行区域,如下图所示。
画图所用代码记录在下面,以防忘记。
clc;clear;close all;
%% 参数设置
c = 0:1e-2:1;
v = 0:1e-2:1;
ps = 1/4 + 2/3 .* c;
pb = 1/12 + 2/3 .* v;
%% 画图--均衡线性策略
figure('color',[1,1,1]);
plot(c,ps,'LineWidth',1.5);hold on;box off;
plot(v,pb,'LineWidth',1.5);
text(0.2,0.5,'$p_s(c)$','Interpreter','Latex','FontSize',15)
text(0.3,0.25,'$p_b(v)$','Interpreter','Latex','FontSize',15)
plot([0 1],[0 1],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1/4],[1/4,1/4],'k--','LineWidth',1);
plot([1/4,1/4],[0,1/4],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1],[3/4,3/4],'k--','LineWidth',1);
plot([3/4,3/4],[0,3/4],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1],[1,1],'LineWidth',1.5,'color','black');
plot([1,1],[1,0],'LineWidth',1.5,'color','black');
xlabel('$c,v$','Interpreter','Latex');
ylabel('$p_s,p_b$','Interpreter','Latex');
xticks([0 1/4 3/4 1]);
yticks([0 1/4 3/4 1]);
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',15,'LineWidth',1.5);
%% 画图--交易区域
v = c+1/4;
figure('color',[1,1,1]);
fill([0 0 3/4],[1/4 1 1],'r','edgecolor',[1,1,1],'FaceAlpha',0.2);hold on;box on;
plot(c,v,'k','LineWidth',1.5);
plot([0 1],[0 1],'k--','LineWidth',1);
xlabel('$v$','Interpreter','Latex');
ylabel('$c$','Interpreter','Latex');
xticks([0 1/4 1/2 3/4 1]);
yticks([0 1/4 1/2 3/4 1]);
axis([0 1 0 1])
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',15,'LineWidth',1.5);
text(0.15,0.75,'交易区域','FontSize',15)
text(0.25,0.47,'$v = c + 1/4$','Interpreter','Latex','FontSize',13)
text(0.25,0.2,'$v = c$','Interpreter','Latex','FontSize',13)
参考文献
[1] 张维迎. 博弈论与信息经济学 [M]. 上海: 上海人民出版社, 2013: 154-158.
附录
条件期望的定义:条件期望是概率论中的一个基本概念,它描述了在给定某些信息的情况下,一个随机变量的期望值。具体来说,设和是两个随机变量,那么在给定的条件下的期望值,记作,定义为:。对于连续随机变量,条件期望的定义类似,只是求和变成了积分:。其中,是在给定的条件下的条件概率密度函数。