双方叫价拍卖：一种贝叶斯博弈均衡的解法

2024-12-25

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一、数学模型：双方叫价拍卖模型

考虑一类双方叫价拍卖（double auction），潜在的卖方和买方同时开价，卖方提出要价（asking price），买方提出出价（bidding price），拍卖商选择成交价格 $p$ 清算市场。交易规则为

所有要价低于 $p$ 的卖方卖出，所有出价高于 $p$ 的买方买入；

在价格 $p$ 下的总供给等于总需求。

查特金和萨缪尔逊（Chatterjee and Samuelson,1983）建立了一个简单双方叫价拍卖模型。

该模型中，有一个卖方和一个买方。卖方提供该商品的成本为 $c$ ，或者说，该商品对卖方的价值为 $c$ ；该商品对买方的价值为 $v$ 。

注： $c \in [0,1]$ ， $v \in [0,1]$ 。

该模型的具体流程为

同时地，卖方提出要价 $p_s \in [0,1]$ ，买方提出出价 $p_b \in [0,1]$ ；

若 $p_b \ge p_s$ ，双方在 $p = (p_s+p_b)/2$ 上成交；卖方的博弈收益为 $u_s = (p_s + p_b)/2 -c$ ，买方的博弈收益为 $u_b = v - (p_b+p_s)$ ；

若 $p_b < p_s$ ，没有交易发生；卖方和买方的效用均为 $0$ 。

二、问题描述：贝叶斯博弈模型

现在考虑不完全信息的情况，即

只有卖方知道 $c$ （卖方提供该商品的成本）；

只有买方知道 $v$ （该商品对买方的价值）；

$c$ 和 $v$ 在 $[0,1]$ 均匀分布，概率分布函数 $f(x)=1/(b-a) \quad x \in [a,b]$ 为公共知识。

在该贝叶斯博弈中，卖方的策略（即要价） $p_s$ 是 $c$ 的函数，为 $p_s(c)$ ；买方的策略（即出价） $p_b$ 是 $v$ 的函数，为 $p_b(v)$ 。策略组合 $(p_s^*(c),p_b^*(v))$ 是一个贝叶斯均衡（Bayesian Nash Equilibrium，BNE），假定下列两个条件成立：

卖方最优：对于所有的 $c \in [0,1]$ ， $p_s^*(c)$ 是下列最优化问题的解，为
$max_{p_{s}} u_{s} = max_{p_{s}} [\frac{1}{2} (p_{s} + E [p_{b} (v) | p_{b} (v) \geq p_{s}]) - c] \cdot Prob {p_{b} (v) \geq p_{s}}$ $\max_{p_s} u_s = \max_{p_s}\left [ \frac{1}{2}(p_s + \text{E}[p_b(v)|p_b(v) \ge p_s]) - c \right ]\cdot \text{Prob}\{ p_b(v) \ge p_s \}$
式中， $\text{E}[p_b(v)|p_b(v) \ge p_s]$ 为给定买方的出价高于卖方的要价的条件下，卖方预期买方的出价。
买方最优：对于所有的 $v \in [0,1]$ ， $p_b^*(c)$ 是下列最优化问题的解，为
$max_{p_{b}} u_{b} = max_{p_{b}} [v - \frac{1}{2} (p_{b} + E [p_{s} (c) | p_{b} \geq p_{s} (c)])] \cdot Prob {p_{b} \geq p_{s} (c)}$ $\max_{p_b} u_b = \max_{p_b}\left [v- \frac{1}{2}(p_b + \text{E}[p_s(c)|p_b \ge p_s(c)])\right ]\cdot \text{Prob}\{ p_b \ge p_s(c) \}$
式中， $\text{E}[p_s(c)|p_b \ge p_s(c)]$ 为给定买方的出价高于卖方的要价的条件下，买方预期卖方的要价。

问题1：为什么会有上述两个目标函数的形式？

回答：见前文提到的模型流程，在 $p_b \ge p_s$ 的条件下，双方在 $p = (p_s+p_b)/2$ 上成交。卖方的博弈收益为 $u_s = (p_s + p_b)/2 -c$ ， $p_s$ 是卖方可以确定的变量，那么 $p_b$ 要满足 $p_b \ge p_s$ 的条件，所以要计算 $p_b$ 在 $p_b \ge p_s$ 内的期望博弈收益，写为 $\text{E}[p_b(v)|p_b(v) \ge p_s]$ 。

买方的博弈收益为 $u_b = v - (p_b+p_s)$ ， $p_b$ 是买方可以确定的变量，那么 $p_s$ 要满足 $p_b \ge p_s$ 的条件所以要计算 $p_s$ 在 $p_b \ge p_s$ 内的期望博弈收益，写为 $\text{E}[p_s(c)|p_b \ge p_s(c)]$ 。

三、理论方法：贝叶斯均衡的解法

该贝叶斯博弈有多种BNE，首先考虑一类线性策略均衡，表达式为

{\begin{aligned} p_{s} (c) = α_{s} + β_{s} c, \\ p_{b} (v) = α_{b} + β_{b} c . \end{aligned}

$\left \{\begin{aligned} &p_s(c) = \alpha_s + \beta_s c, \\ &p_b(v) = \alpha_b + \beta_b c. \end{aligned}\right.$

3.1 求解卖方的目标函数

先求解卖方的目标函数，为此，要先求解下面两个式子，分别是

Prob {p_{b} (v) \geq p_{s}}

$\text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s \}$

和

E [p_{b} (v) | p_{b} (v) \geq p_{s}]

$\text{E}[p_b(v)|p_b(v) \ge p_s]$

3.1.1 求解 $\text{Prob}{p_b(v) \ge p_s }$

可以将买方出价 $p_b(v)$ 大于等于卖方要价 $p_s$ 的概率表示为

Prob {p_{b} (v) \geq p_{s}} = Prob {α_{b} + β_{b} v \geq p_{s}} .

$\text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s\} = \text{Prob}\{\alpha_b + \beta_b v \ge p_s\}.$

随后，解不等式 $\alpha_b + \beta_b v \ge p_s$ ，为

v \geq \frac{p_{s} - α_{b}}{β_{b}} .

$v \ge \frac{p_s - \alpha_b}{\beta_b}.$

由于 $v$ 在 $[0,1]$ 上均匀分布，因此 $v$ 大于等于 $\frac{p_s - \alpha_b}{\beta_b}$ 的概率为

Prob {v \geq \frac{p_{s} - α_{b}}{β_{b}}} = 1 - \frac{p_{s} - α_{b}}{β_{b}},

$\text{Prob}\left\{v \ge \frac{p_s - \alpha_b}{\beta_b}\right\} = 1 - \frac{p_s - \alpha_b}{\beta_b},$

化简得到下式，为

Prob {p_{b} (v) \geq p_{s}} = (α_{b} + β_{b} - p_{s}) / β_{b} .

$\text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s\} = (\alpha_b + \beta_b - p_s) / \beta_b.$

3.1.2 求解 $\text{E}[p_b(v)|p_b(v) \ge p_s]$

根据条件期望的定义（见附录），而且根据条件概率 $p_b(v) \ge p_s$ ，得到积分上限为 $\alpha_b+\beta_b$ ，积分下限为 $p_s$ ，因为 $p_b(v)$ 在 $[\alpha_b, \alpha_b + \beta_b]$ 上均匀分布，得到

E {p_{b} (v) | p_{b} (v) \geq p_{s}} = \frac{\int_{p_{s}}^{α_{b} + β_{b}} x f (x) d x}{Prob {p_{b} (v) \geq p_{s}}},

$\text{E}\{p_b(v) | p_b(v) \ge p_s\} = \frac{\int_{p_s}^{\alpha_b + \beta_b} x f(x) \text{d}x}{\text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s\}},$

其中， $f(x)$ 是 $p_b(v)$ 的概率密度函数。由于 $p_b(v)$ 在 $[\alpha_b, \alpha_b + \beta_b]$ 上均匀分布，因此 $f(x) = \frac{1}{\beta_b}$ 。代入上式，为

E {p_{b} (v) | p_{b} (v) \geq p_{s}} = \frac{\frac{1}{β_{b}} \int_{p_{s}}^{α_{b} + β_{b}} x d x}{Prob {p_{b} (v) \geq p_{s}}},

$\text{E}\{p_b(v) | p_b(v) \ge p_s\} = \frac{\frac{1}{\beta_b} \int_{p_s}^{\alpha_b + \beta_b} x \text{d}x}{\text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s\}},$

计算积分 $\int_{p_s}^{\alpha_b + \beta_b} x \text{d}x$ ，为

\int_{p_{s}}^{α_{b} + β_{b}} x d x = {\frac{x^{2}}{2} |}_{p_{s}}^{α_{b} + β_{b}} = \frac{(α_{b} + β_{b})^{2}}{2} - \frac{p_{s}^{2}}{2},

$\int_{p_s}^{\alpha_b + \beta_b} x \text{d}x = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{p_s}^{\alpha_b + \beta_b} = \frac{(\alpha_b + \beta_b)^2}{2} - \frac{p_s^2}{2},$

代入上式，为

E {p_{b} (v) | p_{b} (v) \geq p_{s}} = \frac{\frac{1}{β_{b}} (\frac{(α_{b} + β_{b})^{2}}{2} - \frac{p_{s}^{2}}{2})}{\frac{α_{b} + β_{b} - p_{s}}{β_{b}}},

$\text{E}\{p_b(v) | p_b(v) \ge p_s\} = \frac{\frac{1}{\beta_b} \left( \frac{(\alpha_b + \beta_b)^2}{2} - \frac{p_s^2}{2} \right)}{\frac{\alpha_b + \beta_b - p_s}{\beta_b}},$

化简为

E {p_{b} (v) | p_{b} (v) \geq p_{s}} = \frac{(α_{b} + β_{b})^{2} - p_{s}^{2}}{2 (α_{b} + β_{b} - p_{s})},

$\text{E}\{p_b(v) | p_b(v) \ge p_s\} = \frac{(\alpha_b + \beta_b)^2 - p_s^2}{2(\alpha_b + \beta_b - p_s)},$

进一步得到

E {p_{b} (v) | p_{b} (v) \geq p_{s}} = 0.5 (p_{s} + α_{b} + β_{b}) .

$\text{E}\{p_b(v) | p_b(v) \ge p_s\} = 0.5 (p_s + \alpha_b + \beta_b).$

3.1.3 求解卖方的目标函数

将得到的 $\text{Prob}{p_b(v) \ge p_s} = (\alpha_b + \beta_b - p_s)/\beta_b$ 和 $\text{E}{p_b(v) | p_b(v) \ge p_s} = 0.5 (p_s + \alpha_b + \beta_b)$ 代入卖方的目标函数，有

\begin{aligned} max_{p_{s}} [\frac{1}{2} (p_{s} + E [p_{b} (v) | p_{b} (v) \geq p_{s}]) - c] \cdot Prob {p_{b} (v) \geq p_{s}}, \\ \Rightarrow & max_{p_{s}} [\frac{1}{2} (p_{s} + \frac{1}{2} (p_{s} + α_{b} + β_{b})) - c] \cdot (α_{b} + β_{b} - p_{s}), \\ \Rightarrow & max_{p_{s}} [\frac{1}{2} (p_{s} + \frac{1}{2} p_{s} + \frac{1}{2} α_{b} + \frac{1}{2} β_{b}) - c] \cdot (α_{b} + β_{b} - p_{s}), \\ \Rightarrow & max_{p_{s}} [\frac{3}{4} p_{s} + \frac{1}{4} α_{b} + \frac{1}{4} β_{b} - c] \cdot (α_{b} + β_{b} - p_{s}), \end{aligned}

$\begin{aligned} & \max_{p_s}\left [ \frac{1}{2}(p_s + \text{E}[p_b(v)|p_b(v) \ge p_s]) - c \right ]\cdot \text{Prob}\{ p_b(v) \ge p_s \}, \\ \Rightarrow & \max_{p_s}\left [ \frac{1}{2}(p_s + \frac{1}{2} (p_s + \alpha_b + \beta_b)) - c \right ]\cdot (\alpha_b + \beta_b - p_s), \\ \Rightarrow & \max_{p_s}\left [ \frac{1}{2}(p_s + \frac{1}{2} p_s + \frac{1}{2} \alpha_b + \frac{1}{2} \beta_b) - c \right ]\cdot (\alpha_b + \beta_b - p_s), \\ \Rightarrow & \max_{p_s}\left [\frac{3}{4} p_s + \frac{1}{4} \alpha_b + \frac{1}{4} \beta_b - c \right ]\cdot (\alpha_b + \beta_b - p_s), \\ \end{aligned}$

对 $p_s$ 求偏导，获得一阶最优化条件，为

\begin{aligned} \frac{\partial u_{s}}{\partial p_{s}} & = \frac{\partial [\frac{3}{4} p_{s} + \frac{1}{4} α_{b} + \frac{1}{4} β_{b} - c] \cdot (α_{b} + β_{b} - p_{s})}{\partial p_{s}}, \\ = \frac{3}{4} \cdot \frac{α_{b} + β_{b} - p_{s}}{β_{b}} - \frac{1}{β_{b}} (\frac{3}{4} p_{s} + \frac{1}{4} α_{b} + \frac{1}{4} β_{b} - c), \\ = \frac{3}{4 β_{b}} \cdot (α_{b} + β_{b} - p_{s}) - \frac{3}{4 β_{b}} (p_{s} + \frac{1}{3} α_{b} + \frac{1}{3} β_{b} - \frac{4 c}{3}), \\ = \frac{3}{4 β_{b}} \cdot (\frac{2}{3} α_{b} + \frac{2}{3} β_{b} - 2 p_{s} + \frac{4 c}{3}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\partial u_s}{\partial p_s} &= \frac{\partial \left [\frac{3}{4} p_s + \frac{1}{4} \alpha_b + \frac{1}{4} \beta_b - c \right ]\cdot (\alpha_b + \beta_b - p_s)}{\partial p_s}, \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{\alpha_b + \beta_b - p_s}{\beta_b} - \frac{1}{\beta_b} (\frac{3}{4} p_s + \frac{1}{4} \alpha_b + \frac{1}{4} \beta_b - c), \\ &= \frac{3}{4\beta_b} \cdot (\alpha_b + \beta_b - p_s) - \frac{3}{4\beta_b} (p_s + \frac{1}{3}\alpha_b + \frac{1}{3}\beta_b - \frac{4c}{3}), \\ &= \frac{3}{4\beta_b} \cdot (\frac{2}{3}\alpha_b + \frac{2}{3}\beta_b - 2p_s + \frac{4c}{3}). \end{aligned}$

令

\frac{\partial u_{s}}{\partial p_{s}} = \frac{3}{4 β_{b}} \cdot (\frac{2}{3} α_{b} + \frac{2}{3} β_{b} - 2 p_{s} + \frac{4 c}{3}) = 0,

$\frac{\partial u_s}{\partial p_s} = \frac{3}{4\beta_b} \cdot (\frac{2}{3}\alpha_b + \frac{2}{3}\beta_b - 2p_s + \frac{4c}{3}) = 0,$

前者不会为 $0$ ，只能让后者为 $0$ ，有

\frac{2}{3} α_{b} + \frac{2}{3} β_{b} - 2 p_{s} + \frac{4 c}{3} = 0,

$\frac{2}{3}\alpha_b + \frac{2}{3}\beta_b - 2p_s + \frac{4c}{3} = 0,$

化简得到

p_{s} = \frac{1}{3} (α_{b} + β_{b}) + \frac{2}{3} c .

$\boxed{p_s = \frac{1}{3}(\alpha_b + \beta_b) + \frac{2}{3}c.}$

3.2 求解买方的目标函数

再求解买方的目标函数，同样地，要先求解下面两个式子，分别是

Prob {p_{b} \geq p_{s} (c)}

$\text{Prob}\{p_b \ge p_s(c) \}$

和

E [p_{s} (c) | p_{b} \geq p_{s} (c)]

$\text{E}[p_s(c)|p_b \ge p_s(c)]$

3.2.1 求解 $\text{Prob}{p_b \ge p_s(c) }$

可以将买方出价 $p_b$ 大于等于卖方要价 $p_s(c)$ 的概率表示为

Prob {p_{b} \geq p_{s} (c)} = Prob {p_{b} \geq α_{s} + β_{s} c} .

$\text{Prob}\{p_b \ge p_s(c)\} = \text{Prob}\{p_b \ge \alpha_s + \beta_s c\}.$

随后，解不等式 $p_b \ge \alpha_s + \beta_s c$ ，为

c \leq \frac{p_{b} - α_{s}}{β_{s}} .

$c \le \frac{p_b - \alpha_s}{\beta_s}.$

由于 $c$ 在 $[0,1]$ 上均匀分布，因此 $c$ 小于等等于 $\frac{p_b - \alpha_s}{\beta_s}$ 的概率为

Prob {c \leq \frac{p_{b} - α_{s}}{β_{s}}} = \frac{p_{b} - α_{s}}{β_{s}},

$\text{Prob}\left\{c \le \frac{p_b - \alpha_s}{\beta_s}\right\} = \frac{p_b - \alpha_s}{\beta_s},$

化简得到下式，为

Prob {p_{b} \geq p_{s} (c)} = (p_{b} - α_{s}) / β_{s} .

$\text{Prob}\{p_b \ge p_s(c) \} = (p_b - \alpha_s)/\beta_s.$

3.2.2 求解 $\text{E}[p_s(c)|p_b \ge p_s(c)]$

根据条件期望的定义（见附录），而且根据条件概率 $p_b \ge p_s(c)$ ，得到积分上限为 $p_b$ ，积分下限为 $\alpha_s$ ，因为 $p_s(c)$ 在 $[\alpha_s, \alpha_s + \beta_s]$ 上均匀分布，得到

E [p_{s} (c) | p_{b} \geq p_{s} (c)] = \frac{\int_{α_{s}}^{p_{b}} x f (x) d x}{Prob {p_{b} \geq p_{s} (c)}},

$\text{E}[p_s(c)| p_b \ge p_s(c)] = \frac{\int_{\alpha_s}^{p_b} x f(x) \text{d}x}{\text{Prob}\{p_b \ge p_s(c)\}},$

其中， $f(x)$ 是 $p_s(c)$ 的概率密度函数。由于 $p_s(c)$ 在 $[\alpha_s, \alpha_s + \beta_s]$ 上均匀分布，因此 $f(x) = \frac{1}{\beta_s}$ 。代入上式，为

E {p_{b} (v) | p_{b} \geq p_{s} (c)} = \frac{\frac{1}{β_{s}} \int_{α_{s}}^{p_{b}} x d x}{Prob {p_{b} \geq p_{s} (c)}},

$\text{E}\{p_b(v) | p_b \ge p_s(c)\} = \frac{\frac{1}{\beta_s} \int_{\alpha_s}^{p_b} x \text{d}x}{\text{Prob}\{p_b \ge p_s(c)\}},$

计算积分 $\int_{\alpha_s}^{p_b} x \text{d}x$ ，为

\int_{α_{s}}^{p_{b}} x d x = {\frac{x^{2}}{2} |}_{α_{s}}^{p_{b}} = \frac{p_{b}^{2} - α_{s}^{2}}{2},

$\int_{\alpha_s}^{p_b} x \text{d}x = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{\alpha_s}^{p_b} = \frac{p_b^2-\alpha_s^2}{2},$

代入上式，为

E {p_{b} (v) | p_{b} \geq p_{s} (c)} = \frac{\frac{1}{β_{b}} (\frac{p_{b}^{2} - α_{s}^{2}}{2})}{\frac{p_{b} - α_{s}}{β_{s}}},

$\text{E}\{p_b(v) | p_b \ge p_s(c)\} = \frac{\frac{1}{\beta_b} \left( \frac{p_b^2-\alpha_s^2}{2} \right)}{\frac{p_b - \alpha_s}{\beta_s}},$

化简为

E {p_{b} (v) | p_{b} \geq p_{s} (c)} = \frac{(p_{b} - α_{s}) (p_{b} + α_{s})}{2 (p_{b} - α_{s})},

$\text{E}\{p_b(v) | p_b \ge p_s(c)\} = \frac{(p_b - \alpha_s)(p_b + \alpha_s)}{2(p_b - \alpha_s)},$

进一步得到

E {p_{b} (v) | p_{b} \geq p_{s} (c)} = 0.5 (p_{b} + α_{s}) .

$\text{E}\{p_b(v) | p_b \ge p_s(c)\} = 0.5 (p_b + \alpha_s).$

3.2.3 求解买方的目标函数

将得到的 $\text{Prob}{p_b \ge p_s(c) } = (p_b - \alpha_s)/\beta_s$ 和 $\text{E}{p_b(v) | p_b \ge p_s(c)} = 0.5 (p_b + \alpha_s)$ 代入卖方的目标函数，有

\begin{aligned} max_{p_{b}} [v - \frac{1}{2} (p_{b} + E [p_{s} (c) | p_{b} \geq p_{s} (c)])] \cdot Prob {p_{b} \geq p_{s} (c)}, \\ \Rightarrow & max_{p_{b}} [v - \frac{1}{2} (p_{b} + \frac{1}{2} (p_{b} + α_{s}))] \cdot (p_{b} - α_{s}) / β_{s}, \\ \Rightarrow & max_{p_{b}} [v - \frac{1}{2} (p_{b} + \frac{1}{2} p_{b} + \frac{1}{2} α_{s})] \cdot (p_{b} - α_{s}) / β_{s}, \\ \Rightarrow & max_{p_{b}} [v - \frac{1}{2} (\frac{3}{2} p_{b} + \frac{1}{2} α_{s})] \cdot (p_{b} - α_{s}) / β_{s}, \\ \Rightarrow & max_{p_{b}} [v - \frac{3}{4} p_{b} - \frac{1}{4} α_{s}] \cdot (p_{b} - α_{s}) / β_{s}, \end{aligned}

$\begin{aligned} & \max_{p_b}\left [v- \frac{1}{2}(p_b + \text{E}[p_s(c)|p_b \ge p_s(c)])\right ]\cdot \text{Prob}\{ p_b \ge p_s(c) \}, \\ \Rightarrow & \max_{p_b}\left [v- \frac{1}{2}(p_b + \frac{1}{2} (p_b + \alpha_s))\right ]\cdot (p_b - \alpha_s)/\beta_s, \\ \Rightarrow & \max_{p_b}\left [v- \frac{1}{2}(p_b + \frac{1}{2}p_b + \frac{1}{2}\alpha_s)\right ]\cdot (p_b - \alpha_s)/\beta_s, \\ \Rightarrow & \max_{p_b}\left [v- \frac{1}{2}(\frac{3}{2}p_b + \frac{1}{2}\alpha_s)\right ]\cdot (p_b - \alpha_s)/\beta_s, \\ \Rightarrow & \max_{p_b}\left [v- \frac{3}{4}p_b - \frac{1}{4}\alpha_s \right ]\cdot (p_b - \alpha_s)/\beta_s, \\ \end{aligned}$

对 $p_s$ 求偏导，获得一阶最优化条件，为

\begin{aligned} \frac{\partial u_{b}}{\partial p_{b}} & = \frac{\partial [v - \frac{3}{4} p_{b} - \frac{1}{4} α_{s}] \cdot (p_{b} - α_{s}) / β_{s}}{\partial p_{b}}, \\ = - \frac{3}{4} \frac{p_{b} - α_{b}}{β_{s}} + \frac{1}{β_{s}} (v - \frac{3}{4} p_{b} - \frac{1}{4} α_{s}), \\ = \frac{3}{4 β_{s}} (α_{b} - p_{b}) + \frac{3}{4 β_{s}} (\frac{4}{3} v - p_{b} - \frac{1}{3} α_{s}), \\ = \frac{3}{4 β_{s}} (\frac{2}{3} α_{b} - 2 p_{b} + \frac{4}{3} v) \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\partial u_b}{\partial p_b} &= \frac{\partial \left [v- \frac{3}{4}p_b - \frac{1}{4}\alpha_s \right ]\cdot (p_b - \alpha_s)/\beta_s}{\partial p_b}, \\ &= -\frac{3}{4} \frac{p_b-\alpha_b}{\beta_s} + \frac{1}{\beta_s}(v - \frac{3}{4}p_b - \frac{1}{4}\alpha_s), \\ &= \frac{3}{4 \beta_s}(\alpha_b-p_b) + \frac{3}{4\beta_s}(\frac{4}{3}v - p_b - \frac{1}{3}\alpha_s), \\ &= \frac{3}{4 \beta_s}(\frac{2}{3}\alpha_b - 2 p_b + \frac{4}{3}v) \end{aligned}$

令

\frac{\partial u_{s}}{\partial p_{s}} = \frac{3}{4 β_{s}} (\frac{2}{3} α_{b} - 2 p_{b} + \frac{4}{3} v) = 0,

$\frac{\partial u_s}{\partial p_s} = \frac{3}{4 \beta_s}(\frac{2}{3}\alpha_b - 2 p_b + \frac{4}{3}v) = 0,$

前者不会为 $0$ ，只能让后者为 $0$ ，有

\frac{2}{3} α_{b} - 2 p_{b} + \frac{4}{3} v = 0,

$\frac{2}{3}\alpha_b - 2 p_b + \frac{4}{3}v = 0,$

化简得到

p_{b} = \frac{1}{3} α_{s} + \frac{2}{3} v .

$\boxed{p_b = \frac{1}{3}\alpha_s + \frac{2}{3}v.}$

3.3 求解BNE

重写一遍卖家和买家的一阶最优化条件，为

{\begin{aligned} p_{s} (c) = \frac{1}{3} (α_{b} + β_{b}) + \frac{2}{3} c, \\ p_{b} (v) = \frac{1}{3} α_{s} + \frac{2}{3} v . \end{aligned}

$\left \{\begin{aligned} &p_s(c) = \frac{1}{3}(\alpha_b + \beta_b) + \frac{2}{3}c, \\ &p_b(v) = \frac{1}{3}\alpha_s + \frac{2}{3}v. \end{aligned}\right.$

再列出 $p_s(c)$ 和 $p_b(v)$ ，方便对比，为

{\begin{aligned} p_{s} (c) = α_{s} + β_{s} c, \\ p_{b} (v) = α_{b} + β_{b} v . \end{aligned}

$\left \{\begin{aligned} &p_s(c) = \alpha_s + \beta_s c, \\ &p_b(v) = \alpha_b + \beta_b v. \end{aligned}\right.$

通过目测法，可以观察得到

{\begin{aligned} β_{s} = \frac{2}{3}, \\ β_{b} = \frac{2}{3} . \end{aligned}

$\left \{\begin{aligned} \beta_s = \frac{2}{3},\\ \beta_b = \frac{2}{3}. \end{aligned}\right.$

把 $\beta_s$ 和 $\beta_b$ 代入卖家和买家的一阶最优化条件，得到

{\begin{aligned} \frac{1}{3} α_{s} = α_{b}, \\ \frac{1}{3} (α_{b} + \frac{2}{3}) = α_{s} . \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} &\frac{1}{3}\alpha_s = \alpha_b,\\ &\frac{1}{3}(\alpha_b+\frac{2}{3}) = \alpha_s. \end{aligned}\right.$

联立求解，得到

{\begin{aligned} α_{s} = \frac{1}{4}, \\ α_{b} = \frac{1}{12} . \end{aligned}

$\left \{\begin{aligned} &\alpha_s = \frac{1}{4},\\ &\alpha_b = \frac{1}{12}. \end{aligned}\right.$

那么，卖方和买方的BNE为

{\begin{aligned} p_{s} (c) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} c, \\ p_{b} (v) = \frac{1}{12} + \frac{2}{3} v . \end{aligned}

$\left \{\begin{aligned} &p_s(c) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} c, \\ &p_b(v) = \frac{1}{12} + \frac{2}{3} v. \end{aligned}\right.$

四、结果分析

4.1 卖方的策略

对于卖方而言，令要价小于成本，有

\frac{1}{4} + \frac{2}{3} c < c \Rightarrow c > \frac{3}{4}

$\frac{1}{4} + \frac{2}{3}c < c \Rightarrow c > \frac{3}{4}$

意为当 $c > 3/4$ 时，卖方的要价低于成本，这对卖方来说不划算。

买方的最高报价为 $p_b(1) = 1/12+2/3= 3/4$ ，等于卖方的要价均衡点 $p_s(3/4)=1/4+2/3\cdot 3/4=3/4$ 。也就是说，卖方在 $c>3/4$ 给出要价，成本会比要价高，卖方不会这样行动，故买卖双方的最高要价/出价不会高于 $3/4$ 。

所以，卖方要价低于成本的情况不会出现。

4.2 买方的策略

对于买方而言，令出价高于成本，有

\frac{1}{12} + \frac{2}{3} v > v \Rightarrow v < \frac{1}{4}

$\frac{1}{12} + \frac{2}{3}v > v \Rightarrow v < \frac{1}{4}$

意为当 $v < 1/4$ 时，买方的出价高于成本，这对买方来说不划算。

卖方的最低报价为 $p_s(0) = 1/4$ ，等于买方的出价均衡点 $p_b(1/4)=1/12+2/3\cdot 1/4=1/4$ 。也就是说，买方在 $v<1/4$ 给出出价，成本会比出价低，买方不会这样行动，故买卖双方的最低要价/出价不会低于 $1/4$ 。

所以，买方出价高于成本的情况不会出现。

4.3 BNE

在均衡情况下，当且仅当买方的出价大于等于卖方的要价时，即

(p_{s}^{*} (c), p_{b} (v)) \leq (p_{s}^{*} (c), p_{b}^{*} (v)) \leq (p_{s}^{*} (c), p_{b} (v))

$(p_s^*(c),p_b(v)) \le (p_s^*(c),p_b^*(v)) \le (p_s^*(c),p_b(v))$

写得更加清晰一些，为

\begin{aligned} p_{s}^{*} (c) \leq p_{b}^{*} (v) \\ \Rightarrow & α_{s} + β_{s} c \leq α_{b} + β_{s} v \\ \Rightarrow & \frac{1}{4} + \frac{2}{3} c \leq \frac{1}{12} + \frac{2}{3} c \\ \Rightarrow & c + \frac{1}{4} \leq v \end{aligned}

$\begin{aligned} & p_s^*(c) \le p_b^*(v) \\ \Rightarrow & \alpha_s + \beta_s c \le \alpha_b + \beta_s v \\ \Rightarrow & \frac{1}{4} + \frac{2}{3} c \le \frac{1}{12} + \frac{2}{3} c \\ \Rightarrow & c + \frac{1}{4} \le v \end{aligned}$

满足上述条件，买卖双方才会发生交易。

那么，可以画出买卖双方的均衡线性策略图，如下图所示。

买卖双方的均衡线性策略图

画出交易可行区域，如下图所示。

交易可行区域

画图所用代码记录在下面，以防忘记。

clc;clear;close all;
%% 参数设置
c = 0:1e-2:1;
v = 0:1e-2:1;

ps = 1/4 + 2/3 .* c;
pb = 1/12 + 2/3 .* v;

%% 画图--均衡线性策略
figure('color',[1,1,1]);
plot(c,ps,'LineWidth',1.5);hold on;box off;
plot(v,pb,'LineWidth',1.5);
text(0.2,0.5,'$p_s(c)$','Interpreter','Latex','FontSize',15)
text(0.3,0.25,'$p_b(v)$','Interpreter','Latex','FontSize',15)
plot([0 1],[0 1],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1/4],[1/4,1/4],'k--','LineWidth',1);
plot([1/4,1/4],[0,1/4],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1],[3/4,3/4],'k--','LineWidth',1);
plot([3/4,3/4],[0,3/4],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1],[1,1],'LineWidth',1.5,'color','black');
plot([1,1],[1,0],'LineWidth',1.5,'color','black');
xlabel('$c,v$','Interpreter','Latex');
ylabel('$p_s,p_b$','Interpreter','Latex');
xticks([0 1/4 3/4 1]);
yticks([0 1/4 3/4 1]);
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',15,'LineWidth',1.5);

%% 画图--交易区域
v = c+1/4;
figure('color',[1,1,1]);
fill([0 0 3/4],[1/4 1 1],'r','edgecolor',[1,1,1],'FaceAlpha',0.2);hold on;box on;
plot(c,v,'k','LineWidth',1.5);
plot([0 1],[0 1],'k--','LineWidth',1);
xlabel('$v$','Interpreter','Latex');
ylabel('$c$','Interpreter','Latex');
xticks([0 1/4 1/2 3/4 1]);
yticks([0 1/4 1/2 3/4 1]);
axis([0 1 0 1])
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',15,'LineWidth',1.5);
text(0.15,0.75,'交易区域','FontSize',15)
text(0.25,0.47,'$v = c + 1/4$','Interpreter','Latex','FontSize',13)
text(0.25,0.2,'$v = c$','Interpreter','Latex','FontSize',13)

参考文献

[1] 张维迎. 博弈论与信息经济学 [M]. 上海: 上海人民出版社, 2013: 154-158.

附录

条件期望的定义：条件期望是概率论中的一个基本概念，它描述了在给定某些信息的情况下，一个随机变量的期望值。具体来说，设 $X$ 和 $Y$ 是两个随机变量，那么 $X$ 在给定 $Y=y$ 的条件下的期望值，记作 $E[X|Y=y]$ ，定义为： $E[X|Y=y] = \sum_{x} x \cdot P(X=x|Y=y)$ 。对于连续随机变量，条件期望的定义类似，只是求和变成了积分： $E[X|Y=y] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_{X|Y}(x|y) \text{d}x$ 。其中， $f_{X|Y}(x|y)$ 是 $X$ 在给定 $Y=y$ 的条件下的条件概率密度函数。

雷烈