双方叫价拍卖:一种贝叶斯博弈均衡的解法

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一、数学模型:双方叫价拍卖模型

考虑一类双方叫价拍卖(double auction),潜在的卖方和买方同时开价,卖方提出要价(asking price),买方提出出价(bidding price),拍卖商选择成交价格p清算市场。交易规则为

  1. 所有要价低于p的卖方卖出,所有出价高于p的买方买入;
  2. 在价格p下的总供给等于总需求。

查特金和萨缪尔逊(Chatterjee and Samuelson,1983)建立了一个简单双方叫价拍卖模型。

该模型中,有一个卖方和一个买方。卖方提供该商品的成本为c,或者说,该商品对卖方的价值为c;该商品对买方的价值为v

注:c[0,1]v[0,1]

该模型的具体流程为

  1. 同时地,卖方提出要价ps[0,1],买方提出出价pb[0,1]

  2. pbps,双方在p=(ps+pb)/2上成交;卖方的博弈收益为us=(ps+pb)/2c,买方的博弈收益为ub=v(pb+ps)

  3. pb<ps,没有交易发生;卖方和买方的效用均为0

二、问题描述:贝叶斯博弈模型

现在考虑不完全信息的情况,即

  1. 只有卖方知道c(卖方提供该商品的成本);
  2. 只有买方知道v(该商品对买方的价值);
  3. cv[0,1]均匀分布,概率分布函数f(x)=1/(ba)x[a,b]为公共知识。

在该贝叶斯博弈中,卖方的策略(即要价)psc的函数,为ps(c);买方的策略(即出价)pbv的函数,为pb(v)。策略组合(ps(c),pb(v))是一个贝叶斯均衡(Bayesian Nash Equilibrium,BNE),假定下列两个条件成立:

  1. 卖方最优:对于所有的c[0,1]ps(c)是下列最优化问题的解,为

    maxpsus=maxps[12(ps+E[pb(v)|pb(v)ps])c]Prob{pb(v)ps}

    式中,E[pb(v)|pb(v)ps]为给定买方的出价高于卖方的要价的条件下,卖方预期买方的出价

  2. 买方最优:对于所有的v[0,1]pb(c)是下列最优化问题的解,为

    maxpbub=maxpb[v12(pb+E[ps(c)|pbps(c)])]Prob{pbps(c)}

    式中,E[ps(c)|pbps(c)]为给定买方的出价高于卖方的要价的条件下,买方预期卖方的要价

问题1:为什么会有上述两个目标函数的形式?

回答:见前文提到的模型流程,在pbps的条件下,双方在p=(ps+pb)/2上成交。卖方的博弈收益为us=(ps+pb)/2cps是卖方可以确定的变量,那么pb要满足pbps的条件,所以要计算pbpbps内的期望博弈收益,写为E[pb(v)|pb(v)ps]

买方的博弈收益为ub=v(pb+ps)pb是买方可以确定的变量,那么ps要满足pbps的条件所以要计算pspbps内的期望博弈收益,写为E[ps(c)|pbps(c)]

三、理论方法:贝叶斯均衡的解法

该贝叶斯博弈有多种BNE,首先考虑一类线性策略均衡,表达式为

{ps(c)=αs+βsc,pb(v)=αb+βbc.

3.1 求解卖方的目标函数

先求解卖方的目标函数,为此,要先求解下面两个式子,分别是

Prob{pb(v)ps}

E[pb(v)|pb(v)ps]

3.1.1 求解Probpb(v)ps

可以将买方出价pb(v)大于等于卖方要价ps的概率表示为

Prob{pb(v)ps}=Prob{αb+βbvps}.

随后,解不等式αb+βbvps,为

vpsαbβb.

由于v[0,1]上均匀分布,因此v大于等于psαbβb的概率为

Prob{vpsαbβb}=1psαbβb,

化简得到下式,为

Prob{pb(v)ps}=(αb+βbps)/βb.

3.1.2 求解E[pb(v)|pb(v)ps]

根据条件期望的定义(见附录),而且根据条件概率pb(v)ps,得到积分上限为αb+βb,积分下限为ps,因为pb(v)[αb,αb+βb]上均匀分布,得到

E{pb(v)|pb(v)ps}=psαb+βbxf(x)dxProb{pb(v)ps},

其中,f(x)pb(v)的概率密度函数。由于pb(v)[αb,αb+βb]上均匀分布,因此f(x)=1βb。代入上式,为

E{pb(v)|pb(v)ps}=1βbpsαb+βbxdxProb{pb(v)ps},

计算积分psαb+βbxdx,为

psαb+βbxdx=x22|psαb+βb=(αb+βb)22ps22,

代入上式,为

E{pb(v)|pb(v)ps}=1βb((αb+βb)22ps22)αb+βbpsβb,

化简为

E{pb(v)|pb(v)ps}=(αb+βb)2ps22(αb+βbps),

进一步得到

E{pb(v)|pb(v)ps}=0.5(ps+αb+βb).

3.1.3 求解卖方的目标函数

将得到的Probpb(v)ps=(αb+βbps)/βbEpb(v)|pb(v)ps=0.5(ps+αb+βb)代入卖方的目标函数,有

maxps[12(ps+E[pb(v)|pb(v)ps])c]Prob{pb(v)ps},maxps[12(ps+12(ps+αb+βb))c](αb+βbps),maxps[12(ps+12ps+12αb+12βb)c](αb+βbps),maxps[34ps+14αb+14βbc](αb+βbps),

ps求偏导,获得一阶最优化条件,为

usps=[34ps+14αb+14βbc](αb+βbps)ps,=34αb+βbpsβb1βb(34ps+14αb+14βbc),=34βb(αb+βbps)34βb(ps+13αb+13βb4c3),=34βb(23αb+23βb2ps+4c3).

usps=34βb(23αb+23βb2ps+4c3)=0,

前者不会为0,只能让后者为0,有

23αb+23βb2ps+4c3=0,

化简得到

ps=13(αb+βb)+23c.

3.2 求解买方的目标函数

再求解买方的目标函数,同样地,要先求解下面两个式子,分别是

Prob{pbps(c)}

E[ps(c)|pbps(c)]

3.2.1 求解Probpbps(c)

可以将买方出价pb大于等于卖方要价ps(c)的概率表示为

Prob{pbps(c)}=Prob{pbαs+βsc}.

随后,解不等式pbαs+βsc,为

cpbαsβs.

由于c[0,1]上均匀分布,因此c小于等等于pbαsβs的概率为

Prob{cpbαsβs}=pbαsβs,

化简得到下式,为

Prob{pbps(c)}=(pbαs)/βs.

3.2.2 求解E[ps(c)|pbps(c)]

根据条件期望的定义(见附录),而且根据条件概率pbps(c),得到积分上限为pb,积分下限为αs,因为ps(c)[αs,αs+βs]上均匀分布,得到

E[ps(c)|pbps(c)]=αspbxf(x)dxProb{pbps(c)},

其中,f(x)ps(c)的概率密度函数。由于ps(c)[αs,αs+βs]上均匀分布,因此f(x)=1βs。代入上式,为

E{pb(v)|pbps(c)}=1βsαspbxdxProb{pbps(c)},

计算积分αspbxdx,为

αspbxdx=x22|αspb=pb2αs22,

代入上式,为

E{pb(v)|pbps(c)}=1βb(pb2αs22)pbαsβs,

化简为

E{pb(v)|pbps(c)}=(pbαs)(pb+αs)2(pbαs),

进一步得到

E{pb(v)|pbps(c)}=0.5(pb+αs).

3.2.3 求解买方的目标函数

将得到的Probpbps(c)=(pbαs)/βsEpb(v)|pbps(c)=0.5(pb+αs)代入卖方的目标函数,有

maxpb[v12(pb+E[ps(c)|pbps(c)])]Prob{pbps(c)},maxpb[v12(pb+12(pb+αs))](pbαs)/βs,maxpb[v12(pb+12pb+12αs)](pbαs)/βs,maxpb[v12(32pb+12αs)](pbαs)/βs,maxpb[v34pb14αs](pbαs)/βs,

ps求偏导,获得一阶最优化条件,为

ubpb=[v34pb14αs](pbαs)/βspb,=34pbαbβs+1βs(v34pb14αs),=34βs(αbpb)+34βs(43vpb13αs),=34βs(23αb2pb+43v)

usps=34βs(23αb2pb+43v)=0,

前者不会为0,只能让后者为0,有

23αb2pb+43v=0,

化简得到

pb=13αs+23v.

3.3 求解BNE

重写一遍卖家和买家的一阶最优化条件,为

{ps(c)=13(αb+βb)+23c,pb(v)=13αs+23v.

再列出ps(c)pb(v),方便对比,为

{ps(c)=αs+βsc,pb(v)=αb+βbv.

通过目测法,可以观察得到

{βs=23,βb=23.

βsβb代入卖家和买家的一阶最优化条件,得到

{13αs=αb,13(αb+23)=αs.

联立求解,得到

{αs=14,αb=112.

那么,卖方和买方的BNE为

{ps(c)=14+23c,pb(v)=112+23v.

四、结果分析

4.1 卖方的策略

对于卖方而言,令要价小于成本,有

14+23c<cc>34

意为当c>3/4时,卖方的要价低于成本,这对卖方来说不划算。

买方的最高报价为pb(1)=1/12+2/3=3/4,等于卖方的要价均衡点ps(3/4)=1/4+2/33/4=3/4。也就是说,卖方在c>3/4给出要价,成本会比要价高,卖方不会这样行动,故买卖双方的最高要价/出价不会高于3/4

所以,卖方要价低于成本的情况不会出现

4.2 买方的策略

对于买方而言,令出价高于成本,有

112+23v>vv<14

意为当v<1/4时,买方的出价高于成本,这对买方来说不划算。

卖方的最低报价为ps(0)=1/4,等于买方的出价均衡点pb(1/4)=1/12+2/31/4=1/4。也就是说,买方在v<1/4给出出价,成本会比出价低,买方不会这样行动,故买卖双方的最低要价/出价不会低于1/4

所以,买方出价高于成本的情况不会出现

4.3 BNE

在均衡情况下,当且仅当买方的出价大于等于卖方的要价时,即

(ps(c),pb(v))(ps(c),pb(v))(ps(c),pb(v))

写得更加清晰一些,为

ps(c)pb(v)αs+βscαb+βsv14+23c112+23cc+14v

满足上述条件,买卖双方才会发生交易。

那么,可以画出买卖双方的均衡线性策略图,如下图所示。

买卖双方的均衡线性策略图

画出交易可行区域,如下图所示。

交易可行区域

画图所用代码记录在下面,以防忘记。

clc;clear;close all;
%% 参数设置
c = 0:1e-2:1;
v = 0:1e-2:1;

ps = 1/4 + 2/3 .* c;
pb = 1/12 + 2/3 .* v;

%% 画图--均衡线性策略
figure('color',[1,1,1]);
plot(c,ps,'LineWidth',1.5);hold on;box off;
plot(v,pb,'LineWidth',1.5);
text(0.2,0.5,'$p_s(c)$','Interpreter','Latex','FontSize',15)
text(0.3,0.25,'$p_b(v)$','Interpreter','Latex','FontSize',15)
plot([0 1],[0 1],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1/4],[1/4,1/4],'k--','LineWidth',1);
plot([1/4,1/4],[0,1/4],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1],[3/4,3/4],'k--','LineWidth',1);
plot([3/4,3/4],[0,3/4],'k--','LineWidth',1);
plot([0,1],[1,1],'LineWidth',1.5,'color','black');
plot([1,1],[1,0],'LineWidth',1.5,'color','black');
xlabel('$c,v$','Interpreter','Latex');
ylabel('$p_s,p_b$','Interpreter','Latex');
xticks([0 1/4 3/4 1]);
yticks([0 1/4 3/4 1]);
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',15,'LineWidth',1.5);

%% 画图--交易区域
v = c+1/4;
figure('color',[1,1,1]);
fill([0 0 3/4],[1/4 1 1],'r','edgecolor',[1,1,1],'FaceAlpha',0.2);hold on;box on;
plot(c,v,'k','LineWidth',1.5);
plot([0 1],[0 1],'k--','LineWidth',1);
xlabel('$v$','Interpreter','Latex');
ylabel('$c$','Interpreter','Latex');
xticks([0 1/4 1/2 3/4 1]);
yticks([0 1/4 1/2 3/4 1]);
axis([0 1 0 1])
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',15,'LineWidth',1.5);
text(0.15,0.75,'交易区域','FontSize',15)
text(0.25,0.47,'$v = c + 1/4$','Interpreter','Latex','FontSize',13)
text(0.25,0.2,'$v = c$','Interpreter','Latex','FontSize',13)

参考文献

[1] 张维迎. 博弈论与信息经济学 [M]. 上海: 上海人民出版社, 2013: 154-158.

附录

条件期望的定义:条件期望是概率论中的一个基本概念,它描述了在给定某些信息的情况下,一个随机变量的期望值。具体来说,设XY是两个随机变量,那么X在给定Y=y的条件下的期望值,记作E[X|Y=y],定义为:E[X|Y=y]=xxP(X=x|Y=y)。对于连续随机变量,条件期望的定义类似,只是求和变成了积分:E[X|Y=y]=xfX|Y(x|y)dx。其中,fX|Y(x|y)X在给定Y=y的条件下的条件概率密度函数。