一般性约束问题的最优性条件例题
本题摘自《最优化方法及其Matlab程序设计 第一版》 123(130/271)
【例22】考虑优化问题
\[\mathrm{min} f(x) = -2x^2_1-x^2_1 \ , \\ \mathrm{s.t.} \quad x^2_1+x^2_2-2=0 \ ,\\ -x_1+x_2 \ge 0 \ , \\ x_1 \ge 0 \ , x_2 \ge 0.\]试验证$x^*=(1,1)^\mathrm{T}$为$KT$点，并求出问题的$KT$对。
【解】记
\[\begin{aligned} f(x) &= -2x^2_1-x^2_1,\\ h(x) &= x^2_1+x^2_2-2,\\ g_1(x) &= -x_1+x_2, \\ g_2(x) &= x_1, \\ g_3(x) &= x_2. \end{aligned}\]求梯度，得到
\[\begin{aligned} \bigtriangledown f(x) &= \begin{bmatrix} -4x_1 \\ -2x_2 \end{bmatrix}, \quad \bigtriangledown h(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 \\ 2x_2 \end{bmatrix}, \\ \bigtriangledown g_1(x) &= \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \bigtriangledown g_2(x) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \bigtriangledown g_3(x) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}. \end{aligned}\]把$x^*=(1,1)^\mathrm{T}$代入上面5个式子，由$KT$条件有，
注意：这里一定注意要加负号！！！！
\[\left\{\begin{matrix} -4-2\mu+\omega_1-\omega_2 = 0 \\ -2-2\mu-\omega_1+\omega_3 = 0 \end{matrix}\right. \tag{1}\]因为
\[\left\{\begin{matrix} \omega_2\bigtriangledown g_2(\bar{x}) = 0 \\ \omega_3\bigtriangledown g_3(\bar{x}) = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \omega^*_2 = 0 \\ \omega^*_3 = 0 \end{matrix}\right.\]所以$(1)$变为
\[\left\{\begin{matrix} -4-2\mu+\omega_1 = 0 \\ -2-2\mu-\omega_1 = 0 \end{matrix}\right. \tag{2}\]求解$(2)$式，得到
\[\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} \mu^* &= -1.5 \\ \omega^*_1 &= 1 \end{aligned} \end{matrix}\right.\]这表明 $x^{*}$ 是 $KT$ 点，$(x^*,(\mu^*,\omega^*))$是 $KT$ 对，其中，$\mu^*=-1.5$，$\omega^*=(1,0,0)^\mathrm{T}$。